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數學傳播: 有朋自遠方來 — 專訪 Jaroslav Nešetřil 教授之前在《數學傳播》上看到
Jaroslav Nešetřil 教授的訪問,覺得非常有意思,不過礙於沒有電子檔,也很難分享給大家,所以一直壓後不提。今天發現《數學傳播》已經開放下載
該文了,所以特地在此廣告一下。個人覺得非常值得一看。
『有朋自遠方來』是《數學傳播》的一個專欄到中研院參訪的學者,主要還是以純數或應數居多,離散數學方面的訪談相對來說少得多。

N: 這個結果是由許多因素所造成, 不是那麼容易說得清楚。舉例來說, 或許有人會說這方面研究最厲害的是匈牙利人, 他們又是如何成就的? 我相信關鍵是在特定人物的個人影響力。像D´enes K¨onig4, 他是學邏輯、集合論及拓樸學的, 並在第二次世界大戰前完成他的第一本圖論書。緊接著出現的是一代出色的匈牙利學者, 例如Erd˝os5, Tur´an6, R´enyi7, 他們又全都有各自的學生。在我的國家K¨onig 的書也非常有名。所以我們老師這一代例如:Miroslav Fiedler、Ales Pultr、Zdenek Hedrlin, 他們會引導學生去研究這個領域。這是一個明智的決定。但我們也視Erd˝os 為我們的導師。你知道中歐是很緊密且聲息相通的地區,所以如果政治局勢許可, 就可以在一個下午的時間往返, 就像來回高雄台北一般, 是很近很近的。所以在60年代, 我當學生時, 我到處旅行。到了70年代, 雖然旅行受到政治因素的限制, 但我們仍然可以前往布達佩斯。兩個地方的人不僅每個月都有往來, 甚至比現在還要頻繁, 所以我想組合學在捷克、匈牙利的發展大部份都得利於個人之間的聯繫。第一個組合數學跟圖論的國際會議是在60年代由Fiedler 所籌劃, 1963年在Smolenice 舉行。包括美國, 西歐及世界各國許多數學家都來參加。會議能夠成功的部份原因是因為地點在歐洲中部。很難說一個學派是怎麼發展的, 但我們可以說主要的因素在於人。
N: Gowers11也有一篇漂亮的文章, 他是Fields 獎的得主。他寫了一篇很好的文章《Two Cultures》, 我不知道你看過沒有?
朱: 我看過。
N: 那篇文章的大意是說: 在數學裡有兩種文化,粗略地區分, 一是建立理論; 一是解決問題。當然,根據經驗法則解決問題這類的數學最明確最完全的例子就是組合學。不過也有部份組合學是理論建構的, 並且有越來越多這樣的例子出現。我想這是組合學為什麼受歡迎或為數學家接受的一個原因, 也就是以後組合學會有越來越多的結構跟理論。或許這是我個人的想法,但我認為這是正確的。組合學家看起來會越來越像正經的數學家, 或許這兩種文化之後能夠融合。
朱: 你才剛主持了圖的同態和極限(graph homomorphisms and limits) 的研討會, 可以說是給了圖論、組合學一個新的研究方向。那麼接下來, 我們可以期待些什麼? 圖論主要的走向會有什麼改變? 你覺得會與古典問題相關嗎?
N: 不, 不, 不。那樣野心太大了。雖然我們這領域勢必會日漸豐富, 但有些定理在組合方面太繁複了。如果說組合學有什麼不好, 就是它缺少理論而定理又太過繁複。證明通常因為個別分析而繁瑣, 所以這不是漂亮的、古典的, Bourbaki14 式的數學。在古典數學裡, 你只要證明五個引理, 而且有技巧地把它們整合起來, 基本上, 依照順序證明它們, 也許寫個50頁定理就得證了。(笑), 但組合學通常不是這樣, 有太多的分枝及對付特定情形的論證。不過定理是很重要的, 要說明高級理論的影響的例子就是Szemer´edi regularity lemma。這是近代數學也是組合學至高的成就之一。不久之前,組合數學經歷了相同地abstraction dilemma。現在這是個非常有意義的例子, 雖然被稱為Szemer´edi regularity “lemma”。這是一個關鍵的結果, 不只是引理而已。它是為了證明其它東西而發現的。正式的敘述需要五個量詞,Ramsey’s theorem 公認為複雜的定理, Szemer´edi regularity lemma 還要更複雜。它的說明方式複雜, 因為它是在證明其他東西, 在解決一個古老問題時被發現的, 也就是所謂的Erd˝os-Tur´an 關於density of sets without arithmetic progressions。所以Szemer´edi以一個不尋常的方式發現它, 它被隱藏在一長串不必然需要如此複雜的證明中。然後1975年, 他將引理發表在關於圖的三頁的文章中, 但並不廣為人知。我記得當時我還是名年輕的研究者, Szemer´edi是我的朋友, 沒有人用他的引理。人們讚歎它, 因為引理很漂亮。雖然人們瞭解它的意義: 每個大圖以某種方式來看是規則的, 但卻不知道要拿這個來做什麼。
現在看來, Szemer´edi 的引理大致上是說, 一個圖結構的極限空間是緊緻的, 就這樣。但要達到這個結論, 需要五頁的定義和對高等數學的理解。這個結果很漂亮, 我想, 我們已經能正確地理解Szemer´edi 的引理是什麼; 它是個很基本的結果,而且老早就存在了。它其實是科西不等式一個極為巧妙的形式。一個很巧妙的現代版本, 非常漂亮。它用的是組合數學的敘述, 很容易解釋。現在Szemer´edi regularity lemma、計數引理(counting lemma)、可移除引理(removable lemma) 都合在一塊了, 這些都是很漂亮的結果, 而且每個人都懂, 就連小學生也幾乎可以理解。
現在看來, Szemer´edi 的引理大致上是說, 一個圖結構的極限空間是緊緻的, 就這樣。但要達到這個結論, 需要五頁的定義和對高等數學的理解。這個結果很漂亮, 我想, 我們已經能正確地理解Szemer´edi 的引理是什麼; 它是個很基本的結果,而且老早就存在了。它其實是科西不等式一個極為巧妙的形式。一個很巧妙的現代版本, 非常漂亮。它用的是組合數學的敘述, 很容易解釋。現在Szemer´edi regularity lemma、計數引理(counting lemma)、可移除引理(removable lemma) 都合在一塊了, 這些都是很漂亮的結果, 而且每個人都懂, 就連小學生也幾乎可以理解。
李: 你有什麼建議給想進入組合數學領域的學生?
N: 嗯, 我會告訴他們, 不要左顧右盼, 最好專心在研究上, 坐下來, 看看他們可以做些什麼。但良師益友, 倒是應該多方尋找結交。我認為一個人身邊的朋友、老師和同事都很重要, 因為這是你個人的選擇, 得看你有沒有智慧、懂不懂方法。我的意思是, 這是很見仁見智的事。你遇到十個人, 然後從裡頭挑一個(作為指導教授)。但當然, 學生得自己決定, 而且他們沒辦法得到任何建議, 要不然就是很少。不會有老師說某某人不好(笑), 他們也不常說某人不錯。所以學生們不止要能識人, 還要很幸運。我想這是每個人生涯上的一個關鍵轉折, 所以, 你非得跟對的人一起共事才行。誰是你名義上的老師其實不重要, 總是會有人在文憑上簽字。但你得有一群好友在身邊、好的同事與真正的良師, 這非常重要。對我們老師來說也一樣。我們得快速發掘人才, 知道誰表現傑出。我在學生這方面一直都很幸運, 我總是能遇上難得的好學生。(笑)