Matrix67 說他的理想是
學習數學的過程，應該和人類認識數學的過程一樣。我們應該按照數學發展歷史的順序學習數學。我們應該從古人計數開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，瞭解每個數學分支創立的動機，以及這個分支曲折的發展歷程。我們應該體會數學發展的每個瓶頸，體會每個全新理論的偉大之處，體會每一次數學危機讓數學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。我也蠻喜歡這樣的東西, 不過是個人的歷史嗜好. 未必最適合拿來學習. 一門學問的發展, 中間除了知識的累積之外, 也必然包含了很多汰舊換新的過程, 很多概念往往到了很多年之後, 才能看出它的真正意義. 甚至有些重要的解釋方式或者觀點, 到了後來也不是那麼重要了. 以集合論來說, 到了 Georg Cantor 那個時代才開始要嚴格的處理這些概念, 公理化的處理方式更是近代的事. 難道我們要等到把十九世紀前的數學都學完了, 才開始學集合論嗎?
舉個例子吧。如果有學生問，質數是什麼？老師會說，質數就是除了 1 和自身以外，沒有其它約數的數。不對，這不是學生想要的答案。學生真正想知道的是，質數究竟是什麼？其實，質數就是不可再分的數，是組成一切自然數的基本元素。 12 是由兩個 2 和一個 3 組成的，正如 H2O 是由兩個 H 原子和一個 O 原子組成的一樣。只是和化學世界不同，算術世界的元素有無窮多個。算術世界內的一切對象、定理和方法，都是由這些基本元素組成的，這才是質數為什麼那麼重要的原因。
這個時候我想也可以繼續問說, 為什麼不可再分的觀點是以乘法的角度來看? 不能是加法嗎? 數論中也有很多關於加法的題目, 像是 Goldbach Conjecture 是關於兩數之和, Erdős–Turán conjecture 是關於等差級數 !? 其實我也不知道答案, 只是, 對同一個物件或者定義, 往往有不同的觀點, 不同的觀點往往會造成不同的學派或者新的理論的出現. 例如, frequentist vs bayesian 的爭論, 不就是對同樣的東西有兩種觀點?
所以, 要如何去判斷何謂好的解釋? 對甲來說直覺的解釋, 對乙來說未必如此.
eaglefantasy 的建議是我覺得比較合理的. 應該也是一般學生比較能接受的方式.
所以現在想想，真正好的教材其實應該把要講的內容寫兩遍：第一遍怎麼直觀怎麼講，儘量用最少的數學讓大家明白研究的對象到底是什麼東西，要在頭腦中有一個直觀物理圖像，然後講的順序可以按照歷史上這些概念是怎麼提出來的來講；第二遍就上公理化系統 嚴格地列出這套理論的所有定義和公理，然後按照邏輯的先後順序推演出所有需要掌握的定理。
Ref.: Matrix67: My Blog » Blog Archive » 隨記：我們需要怎樣的數學教育？
Ref.: 對於教材寫法的一點考慮 | 宇宙的心弦
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